MÉTODO PARA CONSTRUÇÃO DE UMA TÁBUA DE LOGARÍTMOS DECIMAL

MÉTODO PARA CONSTRUÇÃO DE UMA TÁBUA DE LOGARÍTMOS DECIMAL
Prof. Luiz Netto
http://members.tripod.com/caraipora

Sempre tive curiosidade em saber como teriam sido construídas as tábuas de logarítmos, mas nunca vi nenhum trabalho mais profundo sobre este assunto em nenhum livro de matemática, apenas indicações de caminhos de um modo geral muito vagos, foi o que encontrei.


Consultando páginas na internet , verifiquei que este questionamento é antigo. Em Portugal, nos anos 40, professores renomados como Bento Caraça e José Sebastião e Silva, polemizaram sobre este assunto . Estas discussões aconteceram em 3 momentos: Julho de 1942 (Gazeta de Matemática, n.11, páginas 15 e 16), Outubro de 1942 (Gazeta de Matemática, n. 12, páginas 10 a 17) e Janeiro de 1943 (Gazeta de Matemática, n. 13, páginas 8 a 14). A polémica nasceu a partir de questões colocadas por Sebastião e Silva:

“Porque não é ensinado nos liceus um processo elementar de construção duma tábua de logarítmos? Pois não é verdade que, só deste modo, o aluno pode adquirir uma noção exacta de logarítmo de um número.....? E não é verdade que se defaz assim aquele mistério.... duma tábua cuja utilidade se conhece, mas que não se sabe como pode ser construída? (Gazeta de Matemática, n.11, julho de 1942). “ Veja isto em documento na internet: http://www.spce.org.pt/sem/15.pdf


Nos dias de hoje não tem mais nenhum sentido prático em querer fazer isto, mas resta ainda a importância em procurar saber como teriam conduzidos os seus raciocínios os matemáticos do passado para construir uma tábua, dada a suma importância de conhecer os logarítmos dos números para poder trabalhar as operações de multiplicação e divisão de grandes números utilizando as suas propriedades, de modo a tornar menos penosa essa tarefa aquela altura.


Em tempos não tão longe de nossos dias, os engenheiros e técnicos utilizavam a régua de cálculo logarítmica baseada nas propriedades dos logarítmos, e naturalmente perdeu o sentido seu uso dado as ferramentas disponíveis nos dias de hoje. Mas para os criadores é necessário praticar e bem o exercicio do pensamento e é isso com que nos preocupamos. Estudando os caminhos que percorreram esses pensadores é que temos inspiração para criar os nossos próprios.


Os escritos que encontramos dão nos conta que levou 20 anos para se construir a primeira tábua de logarítmos dos números, o que mostra as dificuldades que tiveram os que se dedicaram a esta tarefa, pois tudo tinha que ser feito apenas com a disponibilidade do conhecimento matemático, lápis e papel e uma infinita paciência.


Assim pensando imaginei uma maneira de construir uma tábua de logarítmos transpondo-me àquele tempo, utilizando apenas o uso do conceito do que é logarítmo de um número e de operar com radicais, utilizar lápis e papel, pois estas eram as ferramentas disponíveis

Naturalmente um dos pontos de partida para a construção da tábua é definir qual o grau de aproximação que desejamos para o cálculo do logarítmos de um número. Como a idéia aqui é reconstituir um processo de elaboração apenas trabalhei até a quarta casa decimal.


Resolvi dividir o eixo dos x (logarítmos dos números) no intervalo entre zero e um em 1.048.576 partes, (2 elevado à vigésima potencia) ou seja 1/1.048.576 será a menor parte .


Escolhi este número por constatar uma maior facilidade de operar com os radicais, com potencias de dez, como se verá mais adiante. Antes de mais nada recordemos que à curva logarítmica que iremos construir, corresponderá no eixo dos “x” (logarítimos dos números) uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA, e no eixo dos y (Os números aos quais se pesquisam os logarítimos) corresponderá uma PROGRESSÃO GEOMÉTRICA.


Óbviamente as razões dessas progressões são diferentes entre si, na progressão aritmética e geométrica e são uma consequencia do número de divisões que resolvermos tomar para dividir o eixo das abcissas entre 0 e 1.


A equação que temos que resolver é esta que segue logo abaixo e teremos que variar n (números inteiros) de zero a 1.048.576 para saber qual o valor correspondente de y, e claro está que não vamos poder aplicar a propriedade dos logarítmos - “Logarítimo de uma potencia” para resolvê-la pois justamente o que queremos é construir uma tábua de logarítmos.


Se conhecermos dois pontos consecutivos de uma progressão aritmética ou de uma progressão geométrica já teremos definido as suas respectivas razões. Isto é o suficiente para traçar todos os pontos da PA e da PG no intervalo definido.

Uma primeira coordenada fica de imediato definida pois sabemos que: Qualquer número elevado à pontencia zero é igual a 1. à (x,y) = (0,1)
que é o segundo ponto e também a RAZÃO DA PA pois dividivimos o eixo dos “x” em 1.048.576 partes iguais. 1/1048.576=0.00000095367431640625 -->Tomei o valor para cálculo = 0.0000009536.

Precisamos agora calcular o segundo ponto da Progressão Geométrica que corresponde ao segundo ponto da Progressão Aritmética, pois assim poderemos estabelecer qual a razão da PG, simplesmente obtendo o quociente entre esses dois números: o que vamos calcular e o primeiro ponto da PG, que já sabemos é igual a 1.

CÁLCULO DO SEGUNDO PONTO DA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA.

O segundo ponto da PG será obtido resolvendo esta equação:

Isto vale dizer que teremos que extrair a raiz quadrada de 10 vinte vezes.

Y=1.0000021959186755542033171375055-->Tomei o valor para cálculo = 1.000002196 à segundo ponto =(x, y) = (0.0000009536,1.000002196).


Portanto, temos então o valor do segundo ponto da Progressão Geométrica no eixo dos “y”. A razão da PG será o quociente entre esse número e o seu anterior, ou seja a razão da PG é: 1,000002196/1 = 1,000002196
Podemos então colocar em correspondência os pontos da PG e da PA. Agora começa então a trabalheira de ir colocando os mesmos valores de n na PG e na PA e ir anotando os resultados dos números para a construção da tábua. Daí deduz-se o trabalho que demandou para construí-la. Mas nosso objetivo aqui foi demonstrar um caminho de construção. Levantemos alguns valôres, aplicando a fórmula da PA e da PG.





CÁLCULO DO LOGARÍTMO DE UM NÚMERO POR MEIO DE

OPERAÇÃO COM RADICAIS


Para operar com raízes de potencias de 10 e facilitar estes cálculos vamos considerar que: