Movimento cria site para que Landell de Moura seja reconhecido como pioneiro das telecomunicações.

O padre-cientista brasileiro Roberto Landell de Moura foi o pioneiro mundial das telecomunicações, mas perdeu a batalha de marketing para Guglielmo Marconi, que colou seu nome ao da invenção da radiodifusão. Erros históricos também podem ser reparados. É nisso que acredita o Movimento Landell de Moura (MLM), que acaba de colocar no ar um site http://www.mlm.landelldemoura.qsl.br – a fim de angariar adesões a um abaixo-assinado, que pretende o reconhecimento dos feitos científicos do padre Landell, ao menos no Brasil. E que sua obra seja incluída no currículo escolar brasileiro.

Embora tenha inventado o rádio antes de Marconi, obtido patentes no Brasil e nos Estados Unidos, e projetado a televisão e o teletipo muitos anos antes do que diz a história oficial, padre Landell não foi reconhecido em seu tempo, e é quase desconhecido nos dias atuais. Nem em seu país teve ou tem o reconhecimento devido.

O site do Movimento Landell de Moura (MLM) pode ser acessado em quatro idiomas – português, inglês, espanhol e alemão – e contém dados e documentos relativos às invenções do Padre Landell, além da bibliografia existente e links para outros sites que relatam os feitos do cientista.

O abaixo-assinado é digital. O MLM não tem fins político-partidários, religiosos, financeiros ou de promoção pessoal. O intuito é sensibilizar o governo brasileiro para que seja reparada uma injustiça histórica cometida contra um genial inventor brasileiro. Um reconhecimento, aliás, que valoriza a ciência nacional. O MLM é uma iniciativa dos radioamadores Alda Niemeyer (PP5ASN) e Daniel Figueredo (PU6ESE), do jornalista e escritor Hamilton Almeida, e do professor de matemática e especialista em eletrônica industrial, Luiz Netto.

A MÚSICA E OS LOGARÍTMOS

A música e os logaritmos

Para que servem os logaritmos?

Entenda-os e descubrirá a enorme utilidade deles!
Prof. Luiz Netto – Maio de 2009

Já dizia o físico italiano Galileu Galilei que a Matemática é a linguagem da Física. Uma das percepções mais agudas no campo da Matemática foi a do entendimento do que são os logaritmos, e o vislumbre de muitas aplicações de suas propriedades na descrição de muitos fenômenos da natureza. Só para citar algumas:

1)O valor do Ph das soluções, cuja acidez ou alcalinidade é medida por uma escala Logarítmica.:

(Ph) à pondus hidrogeni à peso do hidrogênio.

Ph = 7 à (Neutro) àsignifica que íons de hidrogênio e íons de hidróxido estão em equilíbrio.

2) Os astrônomos antigamente tinham que fazer as suas contas de grandes números que demandavam um tempo enorme, com o surgimento dos logaritmos ao invés de operar com multiplicação e divisão desses números passaram a operar com soma e subtração dos logaritmos desses números que simplificava sobremaneira as suas tarefas. Mais tarde surgiram as réguas de cálculo logarítmicas, que naturalmente caíram em desuso devido ao surgimento das calculadoras eletrônicas.

3) Em acústica: Para o cálculo do volume sonoro de um ambiente é adotada uma unidade chamada de Bell. Como o Bell é uma unidade muito grande adota-se o decibel. O ouvido humano não responde linearmente às intensidades sonoras, mas ao logaritmo desta intensidade sonora.

A natureza assim construiu o ouvido de modo que ele possa detectar o ruído de uma simples folha caindo ao chão e também suportar a explosão de uma bomba a poucos metros. Se a resposta fosse linear ao estímulo o ouvido seria destruído, como a resposta é logarítmica o ouvido suporta essa intensidade sonora muito maior.

Assim podemos calcular estas relações através do conhecimento dos logaritmos. A fórmula que traduz a relação entre duas potencias sonoras, é dada na relação:

db = 10 log P2/P1, P2 e P1 (variação de potencia, por exemplo em um alto-falante de 2 vezes. (Ex. P1 = 10 W, P2=20 W).Assim verificamos que dobrar uma potencia, significa elevá-la em 3 decibeis.

db = 10 log 20/10 à dB = 10 log 2àdb = 10.0,3010à db= 3

4) Nas medidas de intensidade de corrente e tensão também se aplicam o decibel.
5) A escala Richter de medida da magnitude de um abalo sísmico, de um terremoto.
6) A descarga de um capacitor obedece à uma curva logarítmica.
7) Cálculo de juros compostos.

Há outras aplicações, mas hoje vamos nos concentrar na Música e os logaritmos.

A ESCALA MUSICAL IGUALMENTE TEMPERADA

A escala musical temperada divide o espaço de vibrações sonoras compreendido por duas freqüências de notas musicais uma sendo o dobro da outra em 12 intervalos musicais iguais. Pode ser definida matematicamente como uma progressão geométrica cujo primeiro termo é a freqüencia da nota escolhida (Número de oscilações por segundo) e cuja razão é o valor 1.0594631 em decorrência da divisão de uma oitava em 12 intervalos. (veja a dedução logo mais abaixo).

Assim, se tomarmos a nota dó como 16,352 Hz (Hertz) e formos multiplicando sucessivamente pelo número 1.0594631 vamos obter todas as freqüências das notas musicais da escala musical temperada, culminando com a primeira nota da oitava seguinte que é o dobro do valor inicial, e portanto igual a 32,704 Hz. Percorrendo a escala segundo esses valores obtidos vamos caminhar de meio em meio tom. Repare que nos instrumentos de cordas sem trastes podemos obter sons com intervalos menores que meio tom, pois quem define o som obtido é a posição do dedo do instrumentista, mas sem a limitação do traste.

do= 16,352 Hz
do#= 16,352 x 1,0594631 = 17,325 Hz
re = 17,325 x 1.0594631 = 18,3545 Hz
re# = 18,3545 x 1.0594631 = 19,445 Hz
mi = 19,445 x 1.0594631 = 20,602 Hz
fa = 20,620 x 1.0594631 = 21,827 Hz
fa# = 21.827 x 1.059461 = 23,125
sol = 23,125 x 1.0594631 = 24,500
sol# = 24,500 x 1.0594631 = 25,957
la = 25,957 x 1.0594631 = 27,500
la# = 27,500 x 1.0594631 = 29,135
si = 29,135 x 1.0594631 = 30,868
do = 30,868 x 1.0594631 = 32,704

Como se chega à conclusão que o valor do intervalo é de 1,0594631?

Vejamos como se deduz qual o valor deste quociente entre duas notas musicais adjacentes: Énecessário saber operar com radicais.

Vemos que o valor obtido vale 1,0594631. Isto significa que se estamos tocando a nota do3 de um teclado e passarmos para um dó3 sustenido, a freqüência deste do sustenido será maior que a freqüência do do3 -> 1,0594631 vezes maior e assim por diante. - Se estamos tocando um do3 sustenido e passamos a tocar o do3 a freqüência cairá de 1,0594631 vezes, ou ficará menor este valor.

Representação em coordenadas polares de uma oitava musical

As cordas de um violão por exemplo são tensionadas pelas cravelhas até o ponto no qual suas frequencias de vibrações estejam ajustadas ao valor desejado. Mas onde se colocam os trastes de modo que possam ao serem tocadas passem a emitir vibrações ajustadas com a emissão de outros instrumentos musicais? Um do3 do piano, deve soar em sua frequencia fundamental com igual ao do3 de um violino, ou qualquer outro instrumento.

Aí entra a ciência de dimensionar a distância entre os trastes nos instrumentos de cordas que obedecem a uma lei matemática e cuja distribuição é logarítmica. Mas como podemos calcular e definir estas distâncias entre os trastes? Imagine que fosse possivel ao ser humano ouvir a partir de 1 ciclo por segundo, ou 1 Hz. A fórmula abaixo traduz um espectro de frequencias de 1 a 2 Hertz (A largura de Uma oitava). (fizemos a restrição x – variando de zero a 12). Não ouvimos estas frequencias, mas se estendermos esse expoente x para o valor 52, já estaremos no limiar da frequencia de audição humana que é igual 20 Hz.

Ora, sabemos da Física que o inverso da Frequencia é o PERÍDO T do sinal emitido.
Portanto podemos escrever que:

E finalmente:

T é o tempo de execução de um ciclo completo da cada oscilação produzida. Se x=0, T=1.Ora podemos imaginar uma escala cujo comprimento seja igual a 1, ou multiplicando esse valor por um outro valor escolhido que definirá o comprimento total da escala, onde se apoiarão as cordas soltas do instrumento. Se x=0 e portanto T=1, significa que não estamos a vibrar nenhuma corda, com o dedo em nenhum traste, mas estamos a vibrar as CORDAS SOLTAS, suportadas nos dois apoios do instrumento. É fácil constatar pela aplicação da fórmula que quando x=12 (traste 12), teremos completado o curso de um dedo deslizando sobre a corda de uma OITAVA COMPLETA. Nesse ponto encontramos um valor para T=1/2, o que significa que estamos no MEIO DA ESCALA.

Portando para calcularmos os comprimentos das cordas ao longo dos trastes, basta multiplicar os valores encontrados aplicados à fórmula acima, pelo comprimento da escala escolhido.(Ce).

As frequencias corretas das 6 cordas do violão são ajustadas a partir do tensionamento das cordas através das cravelhas do instrumento e seus valores dependerão, da tensão de ajuste, do tipo de material do qual são confecionadas, do diâmetro.

Podemos escrever que o comprimento da corda até o traste de ordem n é obtido pela expressão:

tn = Comprimento da corda até o traste de ordem n

Ce = Comprimento da escala - distância entre os dois suportes das cordas soltas.

x = Ordem do traste

BAIXO

Dimensionamento das distância dos trastes em um Baixo de 864 mm de comprimento

Dimensionamento das distâncias dos trastes no braço de um Baixo de 864 mm de comprimento
Tabela

VIOLÃO

Dimensionamento das distâncias dos trastes no Braço de um violão de 640 mm de comprimento.



Frequencias x períodos
VIOLÃO
Dimensionamento das distâncias dos trastes no braço de um violão de 640 mm de comprimento.

As frequencias das cordas soldas no braço de um violão

Como podem ver onde em uma equação temos um expoente aí existe logarítmos!!

Assim, quando falamos, cantamos, quando tocamos algum instrumento, quando ouvimos um pássaro a cantar, quando sintonizamos um rádio, logarítmos estão se espalhando por todos os cantos. E aí então que dizer quando alguém diz: Até hoje não sei para que servem os logarítmos! Melhor voltar para a escola e ter a sorte de arrumar um professor que não se preocupe em ensinar-nos sómente a trabalhar as equações mas ENTENDER O QUE ELAS DIZEM!

MATEMÁTICA NA MÚSICA:

Equação da Escala Musical Temperada

MÉTODO PARA CONSTRUÇÃO DE UMA TÁBUA DE LOGARÍTMOS DECIMAL

MÉTODO PARA CONSTRUÇÃO DE UMA TÁBUA DE LOGARÍTMOS DECIMAL
Prof. Luiz Netto
http://members.tripod.com/caraipora

Sempre tive curiosidade em saber como teriam sido construídas as tábuas de logarítmos, mas nunca vi nenhum trabalho mais profundo sobre este assunto em nenhum livro de matemática, apenas indicações de caminhos de um modo geral muito vagos, foi o que encontrei.


Consultando páginas na internet , verifiquei que este questionamento é antigo. Em Portugal, nos anos 40, professores renomados como Bento Caraça e José Sebastião e Silva, polemizaram sobre este assunto . Estas discussões aconteceram em 3 momentos: Julho de 1942 (Gazeta de Matemática, n.11, páginas 15 e 16), Outubro de 1942 (Gazeta de Matemática, n. 12, páginas 10 a 17) e Janeiro de 1943 (Gazeta de Matemática, n. 13, páginas 8 a 14). A polémica nasceu a partir de questões colocadas por Sebastião e Silva:

“Porque não é ensinado nos liceus um processo elementar de construção duma tábua de logarítmos? Pois não é verdade que, só deste modo, o aluno pode adquirir uma noção exacta de logarítmo de um número.....? E não é verdade que se defaz assim aquele mistério.... duma tábua cuja utilidade se conhece, mas que não se sabe como pode ser construída? (Gazeta de Matemática, n.11, julho de 1942). “ Veja isto em documento na internet: http://www.spce.org.pt/sem/15.pdf


Nos dias de hoje não tem mais nenhum sentido prático em querer fazer isto, mas resta ainda a importância em procurar saber como teriam conduzidos os seus raciocínios os matemáticos do passado para construir uma tábua, dada a suma importância de conhecer os logarítmos dos números para poder trabalhar as operações de multiplicação e divisão de grandes números utilizando as suas propriedades, de modo a tornar menos penosa essa tarefa aquela altura.


Em tempos não tão longe de nossos dias, os engenheiros e técnicos utilizavam a régua de cálculo logarítmica baseada nas propriedades dos logarítmos, e naturalmente perdeu o sentido seu uso dado as ferramentas disponíveis nos dias de hoje. Mas para os criadores é necessário praticar e bem o exercicio do pensamento e é isso com que nos preocupamos. Estudando os caminhos que percorreram esses pensadores é que temos inspiração para criar os nossos próprios.


Os escritos que encontramos dão nos conta que levou 20 anos para se construir a primeira tábua de logarítmos dos números, o que mostra as dificuldades que tiveram os que se dedicaram a esta tarefa, pois tudo tinha que ser feito apenas com a disponibilidade do conhecimento matemático, lápis e papel e uma infinita paciência.


Assim pensando imaginei uma maneira de construir uma tábua de logarítmos transpondo-me àquele tempo, utilizando apenas o uso do conceito do que é logarítmo de um número e de operar com radicais, utilizar lápis e papel, pois estas eram as ferramentas disponíveis

Naturalmente um dos pontos de partida para a construção da tábua é definir qual o grau de aproximação que desejamos para o cálculo do logarítmos de um número. Como a idéia aqui é reconstituir um processo de elaboração apenas trabalhei até a quarta casa decimal.


Resolvi dividir o eixo dos x (logarítmos dos números) no intervalo entre zero e um em 1.048.576 partes, (2 elevado à vigésima potencia) ou seja 1/1.048.576 será a menor parte .


Escolhi este número por constatar uma maior facilidade de operar com os radicais, com potencias de dez, como se verá mais adiante. Antes de mais nada recordemos que à curva logarítmica que iremos construir, corresponderá no eixo dos “x” (logarítimos dos números) uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA, e no eixo dos y (Os números aos quais se pesquisam os logarítimos) corresponderá uma PROGRESSÃO GEOMÉTRICA.


Óbviamente as razões dessas progressões são diferentes entre si, na progressão aritmética e geométrica e são uma consequencia do número de divisões que resolvermos tomar para dividir o eixo das abcissas entre 0 e 1.


A equação que temos que resolver é esta que segue logo abaixo e teremos que variar n (números inteiros) de zero a 1.048.576 para saber qual o valor correspondente de y, e claro está que não vamos poder aplicar a propriedade dos logarítmos - “Logarítimo de uma potencia” para resolvê-la pois justamente o que queremos é construir uma tábua de logarítmos.


Se conhecermos dois pontos consecutivos de uma progressão aritmética ou de uma progressão geométrica já teremos definido as suas respectivas razões. Isto é o suficiente para traçar todos os pontos da PA e da PG no intervalo definido.

Uma primeira coordenada fica de imediato definida pois sabemos que: Qualquer número elevado à pontencia zero é igual a 1. à (x,y) = (0,1)
que é o segundo ponto e também a RAZÃO DA PA pois dividivimos o eixo dos “x” em 1.048.576 partes iguais. 1/1048.576=0.00000095367431640625 -->Tomei o valor para cálculo = 0.0000009536.

Precisamos agora calcular o segundo ponto da Progressão Geométrica que corresponde ao segundo ponto da Progressão Aritmética, pois assim poderemos estabelecer qual a razão da PG, simplesmente obtendo o quociente entre esses dois números: o que vamos calcular e o primeiro ponto da PG, que já sabemos é igual a 1.

CÁLCULO DO SEGUNDO PONTO DA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA.

O segundo ponto da PG será obtido resolvendo esta equação:

Isto vale dizer que teremos que extrair a raiz quadrada de 10 vinte vezes.

Y=1.0000021959186755542033171375055-->Tomei o valor para cálculo = 1.000002196 à segundo ponto =(x, y) = (0.0000009536,1.000002196).


Portanto, temos então o valor do segundo ponto da Progressão Geométrica no eixo dos “y”. A razão da PG será o quociente entre esse número e o seu anterior, ou seja a razão da PG é: 1,000002196/1 = 1,000002196
Podemos então colocar em correspondência os pontos da PG e da PA. Agora começa então a trabalheira de ir colocando os mesmos valores de n na PG e na PA e ir anotando os resultados dos números para a construção da tábua. Daí deduz-se o trabalho que demandou para construí-la. Mas nosso objetivo aqui foi demonstrar um caminho de construção. Levantemos alguns valôres, aplicando a fórmula da PA e da PG.





CÁLCULO DO LOGARÍTMO DE UM NÚMERO POR MEIO DE

OPERAÇÃO COM RADICAIS


Para operar com raízes de potencias de 10 e facilitar estes cálculos vamos considerar que: