A música e os logaritmos
Para que servem os logaritmos?
Entenda-os e descubrirá a enorme utilidade deles!
Prof. Luiz Netto – Maio de 2009
Já dizia o físico italiano Galileu Galilei que a Matemática é a linguagem da Física. Uma das percepções mais agudas no campo da Matemática foi a do entendimento do que são os logaritmos, e o vislumbre de muitas aplicações de suas propriedades na descrição de muitos fenômenos da natureza. Só para citar algumas:
1)O valor do Ph das soluções, cuja acidez ou alcalinidade é medida por uma escala Logarítmica.:
(Ph) à pondus hidrogeni à peso do hidrogênio.
Ph = 7 à (Neutro) àsignifica que íons de hidrogênio e íons de hidróxido estão em equilíbrio.
2) Os astrônomos antigamente tinham que fazer as suas contas de grandes números que demandavam um tempo enorme, com o surgimento dos logaritmos ao invés de operar com multiplicação e divisão desses números passaram a operar com soma e subtração dos logaritmos desses números que simplificava sobremaneira as suas tarefas. Mais tarde surgiram as réguas de cálculo logarítmicas, que naturalmente caíram em desuso devido ao surgimento das calculadoras eletrônicas.
3) Em acústica: Para o cálculo do volume sonoro de um ambiente é adotada uma unidade chamada de Bell. Como o Bell é uma unidade muito grande adota-se o decibel. O ouvido humano não responde linearmente às intensidades sonoras, mas ao logaritmo desta intensidade sonora.
A natureza assim construiu o ouvido de modo que ele possa detectar o ruído de uma simples folha caindo ao chão e também suportar a explosão de uma bomba a poucos metros. Se a resposta fosse linear ao estímulo o ouvido seria destruído, como a resposta é logarítmica o ouvido suporta essa intensidade sonora muito maior.
Assim podemos calcular estas relações através do conhecimento dos logaritmos. A fórmula que traduz a relação entre duas potencias sonoras, é dada na relação:
db = 10 log P2/P1, P2 e P1 (variação de potencia, por exemplo em um alto-falante de 2 vezes. (Ex. P1 = 10 W, P2=20 W).Assim verificamos que dobrar uma potencia, significa elevá-la em 3 decibeis.
db = 10 log 20/10 à dB = 10 log 2àdb = 10.0,3010à db= 3
4) Nas medidas de intensidade de corrente e tensão também se aplicam o decibel.
5) A escala Richter de medida da magnitude de um abalo sísmico, de um terremoto.
6) A descarga de um capacitor obedece à uma curva logarítmica.
7) Cálculo de juros compostos.
Há outras aplicações, mas hoje vamos nos concentrar na Música e os logaritmos.
A escala musical temperada divide o espaço de vibrações sonoras compreendido por duas freqüências de notas musicais uma sendo o dobro da outra em 12 intervalos musicais iguais. Pode ser definida matematicamente como uma progressão geométrica cujo primeiro termo é a freqüencia da nota escolhida (Número de oscilações por segundo) e cuja razão é o valor 1.0594631 em decorrência da divisão de uma oitava em 12 intervalos. (veja a dedução logo mais abaixo).
Assim, se tomarmos a nota dó como 16,352 Hz (Hertz) e formos multiplicando sucessivamente pelo número 1.0594631 vamos obter todas as freqüências das notas musicais da escala musical temperada, culminando com a primeira nota da oitava seguinte que é o dobro do valor inicial, e portanto igual a 32,704 Hz. Percorrendo a escala segundo esses valores obtidos vamos caminhar de meio em meio tom. Repare que nos instrumentos de cordas sem trastes podemos obter sons com intervalos menores que meio tom, pois quem define o som obtido é a posição do dedo do instrumentista, mas sem a limitação do traste.
do#= 16,352 x 1,0594631 = 17,325 Hz
re = 17,325 x 1.0594631 = 18,3545 Hz
re# = 18,3545 x 1.0594631 = 19,445 Hz
mi = 19,445 x 1.0594631 = 20,602 Hz
fa = 20,620 x 1.0594631 = 21,827 Hz
fa# = 21.827 x 1.059461 = 23,125
sol = 23,125 x 1.0594631 = 24,500
sol# = 24,500 x 1.0594631 = 25,957
la = 25,957 x 1.0594631 = 27,500
la# = 27,500 x 1.0594631 = 29,135
si = 29,135 x 1.0594631 = 30,868
do = 30,868 x 1.0594631 = 32,704
Como se chega à conclusão que o valor do intervalo é de 1,0594631?
Vejamos como se deduz qual o valor deste quociente entre duas notas musicais adjacentes: Énecessário saber operar com radicais.
Vemos que o valor obtido vale 1,0594631. Isto significa que se estamos tocando a nota do3 de um teclado e passarmos para um dó3 sustenido, a freqüência deste do sustenido será maior que a freqüência do do3 -> 1,0594631 vezes maior e assim por diante. - Se estamos tocando um do3 sustenido e passamos a tocar o do3 a freqüência cairá de 1,0594631 vezes, ou ficará menor este valor.
Representação em coordenadas polares de uma oitava musical
As cordas de um violão por exemplo são tensionadas pelas cravelhas até o ponto no qual suas frequencias de vibrações estejam ajustadas ao valor desejado. Mas onde se colocam os trastes de modo que possam ao serem tocadas passem a emitir vibrações ajustadas com a emissão de outros instrumentos musicais? Um do3 do piano, deve soar em sua frequencia fundamental com igual ao do3 de um violino, ou qualquer outro instrumento.
Aí entra a ciência de dimensionar a distância entre os trastes nos instrumentos de cordas que obedecem a uma lei matemática e cuja distribuição é logarítmica. Mas como podemos calcular e definir estas distâncias entre os trastes? Imagine que fosse possivel ao ser humano ouvir a partir de 1 ciclo por segundo, ou 1 Hz. A fórmula abaixo traduz um espectro de frequencias de 1 a 2 Hertz (A largura de Uma oitava). (fizemos a restrição x – variando de zero a 12). Não ouvimos estas frequencias, mas se estendermos esse expoente x para o valor 52, já estaremos no limiar da frequencia de audição humana que é igual 20 Hz.
Ora, sabemos da Física que o inverso da Frequencia é o PERÍDO T do sinal emitido.
Portanto podemos escrever que:
E finalmente:
T é o tempo de execução de um ciclo completo da cada oscilação produzida. Se x=0, T=1.Ora podemos imaginar uma escala cujo comprimento seja igual a 1, ou multiplicando esse valor por um outro valor escolhido que definirá o comprimento total da escala, onde se apoiarão as cordas soltas do instrumento. Se x=0 e portanto T=1, significa que não estamos a vibrar nenhuma corda, com o dedo em nenhum traste, mas estamos a vibrar as CORDAS SOLTAS, suportadas nos dois apoios do instrumento. É fácil constatar pela aplicação da fórmula que quando x=12 (traste 12), teremos completado o curso de um dedo deslizando sobre a corda de uma OITAVA COMPLETA. Nesse ponto encontramos um valor para T=1/2, o que significa que estamos no MEIO DA ESCALA.
Portando para calcularmos os comprimentos das cordas ao longo dos trastes, basta multiplicar os valores encontrados aplicados à fórmula acima, pelo comprimento da escala escolhido.(Ce).
As frequencias corretas das 6 cordas do violão são ajustadas a partir do tensionamento das cordas através das cravelhas do instrumento e seus valores dependerão, da tensão de ajuste, do tipo de material do qual são confecionadas, do diâmetro.
Podemos escrever que o comprimento da corda até o traste de ordem n é obtido pela expressão:
tn = Comprimento da corda até o traste de ordem n
Ce = Comprimento da escala - distância entre os dois suportes das cordas soltas.
x = Ordem do traste
BAIXO
Dimensionamento das distância dos trastes em um Baixo de 864 mm de comprimento
Dimensionamento das distâncias dos trastes no braço de um Baixo de 864 mm de comprimento
Tabela
VIOLÃO
Dimensionamento das distâncias dos trastes no Braço de um violão de 640 mm de comprimento.
Frequencias x períodos
VIOLÃO
Dimensionamento das distâncias dos trastes no braço de um violão de 640 mm de comprimento.
As frequencias das cordas soldas no braço de um violão
Como podem ver onde em uma equação temos um expoente aí existe logarítmos!!Assim, quando falamos, cantamos, quando tocamos algum instrumento, quando ouvimos um pássaro a cantar, quando sintonizamos um rádio, logarítmos estão se espalhando por todos os cantos. E aí então que dizer quando alguém diz: Até hoje não sei para que servem os logarítmos! Melhor voltar para a escola e ter a sorte de arrumar um professor que não se preocupe em ensinar-nos sómente a trabalhar as equações mas ENTENDER O QUE ELAS DIZEM!
MATEMÁTICA NA MÚSICA:
Equação da Escala Musical Temperada
Se conhecermos dois pontos consecutivos de uma progressão aritmética ou de uma progressão geométrica já teremos definido as suas respectivas razões. Isto é o suficiente para traçar todos os pontos da PA e da PG no intervalo definido.
que é o segundo ponto e também a RAZÃO DA PA pois dividivimos o eixo dos “x” em 1.048.576 partes iguais. 1/1048.576=0.00000095367431640625 -->Tomei o valor para cálculo = 0.0000009536.
Isto vale dizer que teremos que extrair a raiz quadrada de 10 vinte vezes. 
